Движение по окружности. Центростремительное и тангенциальное ускорения
Движение по окружности нас окружает постоянно – это может быть мотоциклист на мототреке, вращение грузика на веревке, движение по выгнутому круглому мосту, любой поворот на дороге тоже можно рассматривать, как движение по части окружности и т.д.
Давайте представим, что мы смотрим сверху на мототрек (см. рис.1.). Пусть точка \(А\) это мотоциклист, который движется с постоянной линейной скоростью \(\vec
Определение Линейная скорость – это путь, который проходит мотоциклист за единицу времени (например, за секунду):
Понятно, что чем больший путь (большую длину дуги) успевает пройти тело за одно и тоже время, тем быстрее оно движется, тем больше его линейная скорость. Линейная скорость — это обычная скорость, к которой мы все привыкли. Обратите внимание, что вектор линейной скорости всегда направлен по касательной к траектории, в нашем случае – по касательной к окружности. Чуть позже нам это пригодится.
И так, при движении по окружности можно двумя способами измерять скорость – при помощи линейной скорости (какое расстояние проходит тело за единицу времени) и при помощи угловой скорости (на какой угол поворачивается тело за единицу времени). Эти скорости, очевидно, должны быть связаны между собой.
Но прежде чем, вывести это соотношение, представьте, что отрезок \(AO\) вращается по окружности (см.Рис.1.) и за время \(t\) переходит в отрезок \(^<’>O\) — точка \(A\) переходит в точку \(^<’>\), а точка \(B\) – в точку \(^<’>\).
При этом точка \(A\) проходит за время \(t\) расстояние равное длине дуги окружности \(
А на какой угол успевают повернуться точки \(A\) и \(B\) за одно и тоже время \(t\)?
Из рисунка 1 видно, что они обе поворачиваются на один и тот же угол \(\Delta\varphi\). А так как угловая скорость по определению, это отношение угла ко времени, то угловые скорости точек \(A\) и \(B\) одинаковые.
И так, что мы имеем – оказывается, что при удалении линейная скорость растет, а угловая скорость при этом не меняется. Тогда логичной выглядит следующая формула, связывающая угловую и линейную скорости:
где \(V\) – линейная скорость,
\(\omega\) – угловая скорость,
\(R\) – радиус вращения.
Период и частота вращения
Важными характеристиками любого вращательного движения являются частота и период:
Определение Период – время, за которое тело совершает полный оборот.
В нашем примере с мотоциклистом, период – это время, за которое мотоциклист проезжает один полный круг.
Из курса геометрии вспоминаем, что длину дуги окружности можно посчитать как \(2*\pi*R\), где \(R\) – радиус окружности. Тогда в случае равномерного движения период можно посчитать по формуле, как расстояние деленое на скорость: $$T=\frac<2*\pi*R>
В системе СИ период измеряется в \([
Определение Частота – количество оборотов за единицу времени.
В случае с мотоциклистом, частота – это сколько кругов он успевает проехать, например, за один час. Обычно частоту измеряют в оборотах в секунду.
Период и частота вращения связаны между собой выражением: $$T=\frac<1><\nu>;$$ Отсюда можно получить формулы для частоты, подставив период: $$\nu=\frac
Скорость точки, находящейся на краю вращающегося диска равна \(V_A=15(м/с)\), а точки, расположенной на 0,2 (м) ближе к центру вращения равна \(V_B=10(м/с)\). Найти частоту вращения и радиус диска.
Решение: Точка \(А\) находится дальше от центра на \(20 (см)\), а значит ее скорость больше, чем у точки \(В\). По условию так и есть. Так как обе точки находятся на одном радиусе, то угловые скорости у них одинаковые. Распишем угловые скорости для точек \(А\) и \(В\) и приравняем: $$\omega_A=\frac
Для того, чтобы найти частоту, воспользуемся формулой: $$\nu=\frac
Центростремительное (нормальное) ускорение
Вернемся к нашему примеру с мотоциклистом, двигающимся по мототреку в форму окружности. (См. Рис.3.) Для начала, представим, что линейная скорость у мотоциклиста постоянна, то есть он двигается равномерно, а значит его ускорение должно быть равно нулю. Это действительно так, но при движении по окружности (или любой другой криволинейной траектории) даже с постоянной скоростью возникает новый вид ускорения – центростремительное, еще его называют «нормальное», ускорение. Оно появляется по причине изменения направления вектором скорости.
На самом деле, для решения задач понимать природу центростремительного ускорения совсем необязательно. Достаточно просто помнить, что при любом криволинейном движении появляется такое ускорение. Его можно вычислить по формуле: $$a_n=\frac
\(R\) – радиус окружности.
Подставим сюда линейную скорость через угловую — \(V=\omega*R\). И получим еще одну формулу для центростремительного ускорения: $$a_n=\omega^2*R;$$ Важно! Центростремительное ускорение всегда перпендикулярно скорости и направлено к центру окружности.
Тангенциальное ускорение
Теперь представим, что мотоциклист едет по круглому мототреку не с постоянной скоростью, а равноускорено/равнозамедлено. В этом случае говорят, говорят, что мотоциклист движется с тангенциальным ускорением.
Тангенциальное ускорение – это обычное ускорение, к которому мы привыкли в курсе кинематики. Оно показывает на сколько успевает измениться скорость за единицу времени, например, за секунду.
Тангенциальное ускорение всегда направлено по касательной к траектории. Если тело ускоряется, то оно сонаправлено с линейной скоростью, а если замедляется, то направлено в противоположную сторону. (см.Рис.3, показано синей стрелкой \(\vec
При равноускоренном\равнозамедленном движении тангенциальное ускорение можно посчитать по формуле: $$a_<\tau>=\frac
\(V_н\) – начальная скорость;
\(t\) – время, за которое скорость изменилась с \(V_н\) до \(V_к\).
При любом неравномерном движение по криволинейной траектории (окружности), у тела обязательно есть два вида ускорений – нормальное, направленное к центру, перпендикулярно скорости, и тангенциальное, направленное по касательной к траектории. Нормальное ускорение отвечает за изменение направления вектора линейной скорости, а тангенциальное за изменение величины линейной скорости.
Если тело движется с постоянной скоростью, то тангенциальное ускорение равно \(0\).
Если тело движется по прямой, то нормальное ускорение равно \(0\).
Векторно сложим эти два ускорения по правилу параллелограмма, и получим вектор общего ускорения, которым обладает тело при движении по окружности. (см. Рис.3., фиолетовая стрелка \(\vec\)).
Колесо радиуса R вращается с постоянной скоростью. Во сколько раз отличаются центростремительные ускорения двух точек расположенный на расстояниях \(R/2\) и \(R/3\) от центра колеса
Решение: Так как любая точка колеса вращается с одинаковой угловой скоростью \(\omega\), то воспользуемся формулой для центростремительного ускорения через угловую скорость: $$a_n=\omega^2*r;$$ Пусть точка А вращается по окружности радиусом \(R/2\), а точка В — \(R/3\). $$a_
Как определить мощность, частоту вращения, начало и конец обмоток двигателя без бирки.
Что делать, если вы купили или достали каким-то образом эл.двигатель, на котором отсутствует бирка или шильдик с обозначением его мощности, частоты вращения и т.п.?
Либо на старом движке эти данные стерлись и стали нечитабельны.
При этом паспорта или какой-то другой технической документации у вас под рукой нет. Можно ли в этом случае узнать параметры двигателя самостоятельно?
Конечно же да, причем несколькими способами. Давайте рассмотрим самые популярные из них.
Первоначально для точного определения мощности потребуется выяснить синхронную частоту вращения вала, а перед этим узнать, где у нас начало каждой обмотки, а где ее конец.
По ГОСТ 26772-85 обмотки трехфазных асинхронных двигателей должны маркироваться буквами:
- U1-U2
- V1-V2
- W1-W2
По старому госту обозначение было несколько иным:
- С1-С4
- С2-С5
- С3-С6
Еще раньше можно было встретить надписи Н1-К1 (начало-конец обмотки №1), Н2-К2, Н3-К3.
На некоторых движках для облегчения распознавания концов обмоток их выводят из разных отверстий на одну или другую сторону. Как например на фото снизу.
Но не всегда можно доверять таким выводам. Поэтому проверить все вручную никогда не помешает.
Если никаких обозначений и букв на барно нет, и вы не знаете, где у вас начало, а где конец обмотки, читайте инструкцию под спойлером.
В помощники берете мультиметр и устанавливаете его в режим замера сопротивления.
Одним щупом дотрагиваетесь до любого из шести выводов, а другим поочередно прикасаетесь к остальным пяти проводам, тем самым, ища соответствующую пару.
При ее нахождении на табло мультиметра должна высветиться цифра, показывающее некое сопротивление в Омах.
В остальных случаях с другими проводами сопротивление будет равняться бесконечности (обрыв).
Отмечаете данную обмотку бирками и переходите к оставшимся проводам. Таким нехитрым способом буквально за одну минуту можно «вызвонить» концы всех обмоток.
Однако это еще не все. Главная проблема заключается в том, что вы пока не знаете, какой из двух выводов является началом обмотки, а какой ее концом.
Для того, чтобы это выяснить, соединяете между собой по два вывода от разных обмоток. То есть, условное начало V1 первой обмотки, соединяем с условным концом второй обмотки — U2.
При этом у вас пока нет точной информации начало это или конец. Вы их сами так промаркировали для себя, чтобы сделать последующие замеры.
На другие концы этих двух обмоток (U1 и V2) подаете переменное напряжение 220В или меньше. Зависит это от того, на какое напряжение рассчитан ваш движок.
Смысл всего этого действия – замерить какое напряжение появится на концах третьей обмотки W1-W2. Это так называемый метод трансформации.
Если между W1-W2 будет какое-то значение (10-15В или больше), значит первые две обмотки у вас включены согласовано, то есть правильно. Все подписанные концы V1-V2, U1-U2 вы угадали верно.
Бирки на них менять не нужно.
Если же напряжение между W1-W2 будет очень маленьким или его вообще не будет, то получается, что первые две обмотки вы включили по встречной схеме (неправильно). Бирки на одной из обмоток придется поменять местами.
Разобравшись с двумя фазами переходим к третьей. Здесь процедура та же самая. Соединяете между собой условные начало и конец W1 и U2, а на U1 и W2 подаете 220V.
Замеры делаете между выводами V1 и V2. Если угадали, то двигатель может даже запуститься на двух фазах, ну или по крайней мере между V1 и V2 будет несколько вольт.
Если нет, то просто поменяйте местами бирки W1 и W2.
Второй метод определения начала и конца обмоток еще более простой.
Сперва находите три разные обмотки, как было указано выше. Соединяете их последовательно (условный конец первой с началом второй U2-V1, а конец второй с началом третье V2-W1).
На два оставшихся вывода U1-W2 подаете напряжение 220В. После этого поочередно подносите лампочку к концам каждой из обмоток (U1-U2, V1-V2, W1-W2).
Если она горит везде с одинаковой яркостью, то вы угадали со всеми выводами.
Если яркость будет отличаться, это говорит о том, что данная обмотка перевернута по отношению к двум другим.
На ней бирки нужно поменять местами. Вообще-то по ТБ с лампочкой в качестве контрольки уже давно запрещено работать, поэтому вместо нее лучше используйте мультиметр с функцией замера напряжения.
Для определения частоты по первому способу вам потребуется обычный китайский стрелочный мультиметр (аналоговый, не электронный!).
Определять частоту нужно при положении переключателя мультиметра в режиме измерения тока (100мА). Далее подключаете измерительные щупы в соответствующие разъемы:
I. Механика
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.
Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Вращение Земли
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Связь со вторым законом Ньютона
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Как вывести формулу центростремительного ускорения
Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.
Разница векторов есть . Так как , получим
Движение по циклоиде*
В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.
Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.