Как брать дифференциал

Дифференциал функции

С понятием производной тесно связано важное понятие математики — понятие дифференциала.

Пусть дана функция у = f(х), дифференцирования в точке х. Это означает, что существует

Следовательно, справедливо соотношение:

Отсюда:

Как видно, прирост функции складывается из двух слагаемых. Второе слагаемое как произведение бесконечно малых величин, является бесконечно малым более высокого порядка, чем Значит, при малых второе слагаемое менее важное, чем первое, и именно первое слагаемое составляет основную часть прироста функции (главную часть).

Дифференциалом функции у = f(х) в точках х называют главную часть прироста функции и обозначают символом dy. По определению

При , получаем , или , то есть дифференциал аргумента равный его приросту. Тогда

то есть дифференциал функции у = f(х) в точках х равен произведению производной в этой точке на дифференциал аргумента.

Отсюда, и выражение, которое мы раньше обозначали одним символом, теперь можно рассматривать как дробь, равен отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Геометрическое содержание дифференциала

Рассмотрим график непрерывной функции у = f(х) (рис. 1).

Производная функции при равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке , то есть

На рис. 1 видно, что касательная разбивает прирост функции KN на два отрезка: KP, который соответствует слагаемому и PN, который равен слагаемому Если прирост аргумента стремится к нулю, то отрезок NP уменьшается значительно быстрее, чем отрезок PK. Следовательно, прирост ординаты касательной KP является главной частью прироста функции у = f (х). Из треугольника MPK находим:

Потому, что ; , получаем .

Следовательно, дифференциал функции у = f (х) геометрически изображается приростом ординаты касательной, проведённой в точке при заданных значениях и .

Пример 1. Найти дифференциал функции

Решение: Находим производную данной функции:

Умножаем производную на дифференциал аргумента, получаем дифференциал функции:

Ответ:

Пример 2. Найти дифференциал функции

Решение: Сначала найдём производную данной функции:

Умножим производную на дифференциал аргумента, получаем дифференциал функции:

Ответ:

Пример 3. Вычислить значение дифференциала функции

Решение: Дифференциал вычислим согласно формулы

Прежде чем использовать эту формулу, найдём производную функции и её значение при

Отсюда,

Ответ:

Применение дифференциала к приблизительным вычислениям

Прирост функции и дифференциал функции отличаются один от другого на малую величину Если пренебречь этой малой величиной, то получим приближённое равенство:

то есть при малых приростах аргумента прирост функции можно заменить её дифференциалом.

Учитывая, что , получаем , откуда

Эти приближённые равенства используются для приближённых вычислений, так как вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление её прироста.

Пример4. Вычислить приближённое значение прироста функции при изменении аргумента от х = 2 до х = 2,001.

Решение: Находим дифференциал аргумента . Прирост аргумента малый, поэтому прирост приближённо равен его дифференциалу .

Дифференциал функции вычислим по формуле: . Сначала найдём производную и её значение при х=2.

Точное значение прироста функции найдём по формуле:

Сравнив полученный результат с дифференциалом , видим, что абсолютная погрешность равна 0,000001. Однако абсолютная погрешность не даёт достаточно полной характеристики точности подсчёта, поэтому вычисли м и относительную погрешность:

Такая точность почти всегда достаточна для прикладных вычислений, поэтому вместо прироста функции находят её дифференциал.

Ответ:

Пример 5. Вычислите приближённое значение функции

Решение: Найдём дифференциал аргумента . Прирост аргумента малый, поэтому для вычисления приближённого значения функции воспользуемся формулой:

Сначала найдём значение функции при х=2:

Дифференциал находим по формуле: , для этого найдём производную функции и её значение при х=2:

Ответ:

Пример 6. Найти приближённое значение .

Решение: Нам необходимо найти приближённое значение функции при х=16,06.

Найдём дифференциал аргумента:

прирост аргумента малый, поэтому

Дифференциал находим по формуле: , для этого сначала найдём производную функции и её значение при х=16.

Ответ:

Пример 7. Найти приближённое значение

Решение: Как и предыдущем примере, имеем

Ответ:

Пример 8. Объём куба, ребро которого равно 4см., при нагревании увеличивается на 0,96см 3 . Как при этом увеличивается ребро куба?

Решение: Объём куба с ребром х вычисляется по формуле: V=х 3 . Поскольку

Дифференциал функции вычисляется по формуле , отсюда . Прежде чем воспользоваться формулой найдём производную функции V и её значение при х=4:

Теперь находим

Ответ: Ребро куба увеличилось приблизительно на 0,02 см.

Дифференциал функции и функция

Дифференциал — главная часть прироста функции.

Дифференциал функции и его определение

Определение дифференциала

Если функция y = f (x) имеет в точке х производную, то и приращение функции можно представить в виде
, (4.3)
где — бесконечно малая величина, стремящаяся к нулю вместе с .

В формуле (4.3) второе слагаемое есть бесконечно малая более высшего порядка, чем, и поэтому главную часть суммы составляет первое слагаемое , которое называется дифференциалом функции.

Определение. Главная линейная часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной, называется дифференциалом функции f (x).

Обозначается дифференциал символом dy или df(x). Итак,
(4.4)

Приращение независимой переменной также обозначают так: . Это объясняют тем, что для функции y = x дифференциал . Поэтому равенство (4.4) записывают dy = f ‘(x) dx.

Пример 1. Найти дифференциал функции y = 1 + ln x.

Решение.

Пример 2. Найти дифференциал функции .

Решение. Вычислим сначала производную y’, использовав правило дифференцирования сложной функции
Следовательно,

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции имеет простое геометрическое толкование.

Пусть имеем график функции y = f (x). Возьмем на этой кривой точку М (х, у) и проведем в ней касательную к кривой.

Пусть — угол наклона касательной с положительным направлением оси Оx. Тогда .
Дадим х некоторое приращение . На рис. 4 . Тогда ордината точки М получит приращение , а ордината точки М, касательной — приращение СD. Учитывая, что ∠ DМС = , имеем СD = МС tg ; или СD =.

С геометрической точки зрения дифференциал dy функции y = f (x) в данной точке есть приращение ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получает приращение .

Основные свойства дифференциала

1) Дифференциал постоянной равна нулю dc = 0.

2) Дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций .

3) Дифференциал произведения двух функций равен сумме произведений каждой из функций на дифференциал второй функции

4) Дифференциал частного находится по формуле
.
Докажем свойство 3)

Свойство инвариантности формы дифференциала

Пусть дана сложная функция y = f (u), где . Тогда , а

Поскольку dy = d [f (x)] = f ‘(x) dx, то можем сделать вывод, если вместо независимой переменной х подставить произвольную функцию от х, то форма дифференциала не меняется. Это свойство носит название инвариантности формы дифференциала.

Применение дифференциалов при приближенных вычислениях

Дифференциалы используют при приближенных вычислениях значений функций, применяя примерное равенство . В развернутом виде имеем:

Откуда значение функции .

Пример 1. Вычислить приближенно ln 1,02 с помощью дифференциала.

Решение. Число ln 1,02 является значением функции y = ln x при х = 1,02. Взяв имеем
Итак, ln 1,02 = ln 1 + 1⋅ 0,02 = 0,02.

Пример 2. Вычислить .
Решение. Запишем в виде
Будем рассматривать данное число как значение функции при
Взяв и учитывая, что имеем

и поэтому

Дифференциал функции с примерами

Дифференциалом функции называется произведение ее производной на приращение независимой переменной: (2.23) В частности, при получаем (2.24) т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Формулу (2.23) можно, следовательно, написать так (2.25) откуда (2-26) dx Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной проведенной к графику этой функции в точке когда аргумент получает приращение (рис. 2.1).

Из определения производной и дифференциала вытекает, что где т.е. дифференциал функции отличается от приращения на бесконечно малую высшего порядка, чем Рис. 2.1 При малых справедлива приближенная формула (2.27) или (2.28) Если дифференцируемые функции от постоянная, то верны следующие свойства дифференциалов:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Найти дифференциал функции Решение. По формуле (2.25) находим

Пример 2.

Найти дифференциал функции Решение. На основании формулы (2.25) получаем

Пример 3.

Найти дифференциал функции Решение. В данном случае функция обозначена буквой аргумент буквой Формула (2.25) перепишется так: На основании этой формулы находим

Пример 4.

Вычислить значение дифференциала функции когда х изменяется от 1 до 1,1. Решение. Прежде всего находим общее выражение для дифференциала этой функции: Подставляя значения в последнюю формулу, получаем искомое значение дифференциала:

Пример 5.

Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно найти Решение. Формула (2.28) применительно к данной функции перепишется в виде arctg В нашем случае Подставляя эти значения в формулу, получим Следовательно,

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Справочные сведения

Определение производной

Предел отношения при называется производной функции в точке Этот предел обозначают одним из следующих символов: Таким образом, Если в каждой точке существует т. е. если производная существует для всех то функция называется дифференцируемой на интервале

Вычисление производной называют дифференцированием.

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Если функции имеют производные в некоторой точке, то функция — постоянные) также имеет в этой точке производную, причем Если функции имеют производные в некоторой точке, то и функция имеет производную в этой точке, причем Если функции имеют производные в некоторой точке и в ней, то функция также имеет производную в этой точке, причем

Формулы для производных основных элементарных функций

1) Степенная функция: Область существования производной функции может быть и шире. Например, если то

2) Показательная функция. Если то в частности, .

3) Логарифмическая функция. Если то в частности,

4) Тригонометрические функции:

5) Обратные тригонометрические функции:

6) Гиперболические функции:

Дифференциал функции

Если приращение функции в точке представимо в виде (5) где не зависит от то функция называется дифференцируемой в точке.

Таким образом, если равенство (5) верно, то

Дифференциалом, независимой переменной называется ее приращение т. е. по определению полагают Для дифференцируемости функции в точке (т. е. для существования дифференциала) необходимо и достаточно, чтобы функция имела в этой точке конечную производную. Дифференциал функции выражается через производную следующим образом: (6)

Эта формула позволяет вычислять дифференциалы функций, если известны их производные. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала то, (7) для всех Равенство (5) может быть записано в виде Если то для приближенного вычисления значения функции в точке можно пользоваться формулой (8) так как абсолютная и относительная погрешности при таком приближении сколь угодно малы при достаточно малом Дж.

Примеры с решениями

Пример 1.

Вычислить производную функции

Пример 2.

Вычислить производную функции в точке А Функция является композицией двух функций: Функция в точке имеет производную, причем Функция в точке также имеет производную, причем По формуле (1) получаем

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Полный дифференциал функции

Формула полного дифференциала функции записывается следующим образом:

$$ dz = f’_x (x,y) dx + f’_y (x,y) dy $$

1. Находим первые частные производные функции $ z = f(x,y) $
2. Подставляя полученные производные $ f’_x $ и $ f’_y $ в формулу, записываем ответ

Примеры решений

Находим частные производные первого порядка:

$$ f’_x = 2 $$ $$ f’_y = 3 $$

Подставляем полученные выражения в формулу полного дифференциала и записываем ответ:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Так как функция состоит из трёх переменных, то в формуле полного дифференциала функции необходимо это учесть и добавить третье слагаемое $ f’_z dz $:

$$ du = f’_x dx + f’_y dy + f’_z dz $$

Аналогично как и в случае функции двух переменных находим частные производные первого порядка:

$$ u’_x = yz $$ $$ u’_y = xz $$ $$ u’_z = xy $$

Используя формулу записываем ответ:

$$ du = yzdx + xzdy + xydz $$

Берем частные производные первого порядка:

$$ z’_x = 3x^2 $$ $$ z’_y = 4y^3 $$

Воспользовавшись формулой составляем полный дифференциал:

$$ dz = 3x^2 dx + 4y^3 dy $$

Из условия задачи известны все переменные для вычисления значения дифференциала. Подставив их и вычислим значение:

$$ dz = 3\cdot 1^2 \cdot 0.03 + 4 \cdot 2^3 \cdot (-0.01) = 0.09 — 0.32 = -0.23 $$

Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d)

Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.

Начало

Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной (скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.

Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:

-напоминаю, что Δx — приращение аргумента, Δy — приращение функции.

Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».

Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).

Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):

И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.

Смотрим дифференциалу в лицо

Расмотрим такой график:

Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.

Как мы видим приращение функции(Δy) как бы разделено на две части: BC и CD.
И ведь по-сути нам ведь интересна именно та часть, которая показывает на сколько изменился у относительно касательной — то есть BC, а CD — это лишь та «погрешность» которая нам не особо интересна, поэтому введем понятие дифференциала:

Дифференциал(d) — это линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции(dy) — это главная линейная часть приращения функции.

Зная это введем обозначение на графике:

Вернемся к равенству

BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.

Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.

Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).

Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.

Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx

И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.

Немного пределов

Добавим с левой части и с правой предел

В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:

Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:

Тогда так же мы можем сказать, что дифференциал функции — это приращения функции у которой приращение аргумента стремиться к нулю, ну и это следуется из того же графика.